Приложна алгебрична геометрия

вид:	изборен	зимен семестър 2011-2012 уч.г.
хорариум:	3 часа лекции + 0 часа семинар
изисквания:	познания по алгебра, диференциално и интегрално смятане
специалност:	бакалаври от всички специалности, 2-4 курс
преподавател:	Азнив Каспарян
разписание:	Петък, 9-12ч., 307 ФМИ

Анотация

Настоящият курс е въведение в аритметичната алгебрична геометрия с приложения в теория на кодирането. Изложението започва с функционални полета на една променлива и техните класове дискретни нормирания. Проследява се взаимодействието на тези обекти с разширенията на крайно поле от константи и съответните групи на Галоа. Това подготвя слушателите за съответствието между затворените точки на алгебрична крива и класовете дискретни нормирания на функционалното и поле.

Следват някои свойства на гладките алгебрични криви, както и на техните регулярни и рационални изображения.

Разглеждат се дивизори и линейни системи върху гладки алгебрични криви. Въвежда се пространството на аделите на функционално поле на една променлива и с негова помощ се доказва теоремата на Риман-Рох. Прави се идейна връзка със сноповете от сечения на линейни разслоения и обичайните диференциални форми върху крива.

Отделя се внимание на теоремата на Хасе-Вайл и на границата на Хасе-Вайл за броя на точките върху крива над крайно поле.

Гореспоменатите теоретични сведения се прилагат за конструиране на двойки дуални алгебро-геометрични кодове. Построяват се декодиращи алгоритми за кодове от резидууми.

Курсът е предназначен за интересуващите се от алгебрична геометрия и приложенията и за предаване на информация. В основата на конструкциите стои характеризацията на линейните системи на дивизори върху гладки алгебрични криви чрез техни числови инварианти. Богатата структура на функционалните пространства предоставя естествени възможности за кодиране и декодиране чрез стойности на тези пространства върху подходящи множества от точки.

Конспект

1. Начални сведения за кодове.
2. Абсолютната група на Galois на крайно поле.
3. Функционално поле на една променлива. Класове дискретни нормирания и техните локални пръстени.
4. Афинни алгебрични множества. Теорема на Hilbert за базиса. Теорема на Hilbert за нулите.
5. Проективни алгебрични множества. Топология на Зариски, неприводимост, размерност.
6. Функционално поле на алгебрично многообразие. Морфизми и рационални изображения.
7. Взаимно-еднозначно съответствие между гладки криви и функционални полета на една променлива.
8. Теорема на Bezout. Полиномиални кодове върху равнинни криви.
9. Дивизори и линейни системи.
10. Адели. Диференциали на Weil.
11. Теорема на Риман-Рох за линейни системи на дивизори.
12. Граница на Hasse-Weil за броя на точките върху крива над крайно поле. Ермитови криви.
13. Дуални двойки алгебро-геометрични кодове на Reed-Solomon и Goppa.
14. Декодиране на кодове от резидууми.

Литература

1. "Лекции по Приложна Алгебрична Геометрия"
2. Niederreiter H., Xing C., Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton University Press, 2009.
3. Zampolini P., Algebraic Geometric Codes on Curves and Surfaces, Masters Thesis, Padova, 2007.
4. Hoholdt T., van Lint J., Pellikaan R., Algebraic Geometry Codes, In: Hankbook of Coding Theory vol.1, pp. 871-961.
5. Великова-Бандова Е., Записки по кодиране - двоични шумозащитни кодове, ФОИ-Комерс, София, 2001.