Увод в хомологичната алгебра

Анотация

Настоящият курс запознава студентите с верижните (ко-верижните) комплекси от модули, техните морфизми и хомологии (кохомологии). Като примери се разглеждат сингулярните хомологии (кохомологии), гладките сингулярни хомологии (кохомологии), кохомологиите на снопове и кохомологиите на Де Рам. Ще бъде дискутирана Теоремата на Де Рам за еквивалентност на гладките сингулярни кохомологии и кохомологиите на Де Рам, реализираща тези теории чрез кохомологии на снопове.

Конспект

1. Предварителни сведения за модули.
2. Верижни комплекси, цикли, граници, хомологии. Морфизми на верижни комплекси.
3. Верижни комплекси от линейни пространства. Верижни комплекси от хомоморфизми.
4. Универсални свойства на произведението и ко-произведението. Свободни модули.
5. Сингулярни хомологии на топологично пространство. Гладки сингулярни хомологии на многообразие.
6. Ко-верижни комплекси и кохомологии. Сингулярни кохомологии и гладки сингулярни кохомологии.
7. Снопове
8. Предснопове и асоциираност между снопове и предснопове.
9. Съответствие между къси точни редици от ко-верижни (верижни) комплекси и дълги точни редици от кохомологии (хомологии). Змиеобразна лема.
10. Меки снопове и резолвенти.
11. Гладка сингулярна резолвента на постоянния сноп.
12. Кохомологии на Де Рам. Лема на Поанкаре.
13. Кохомологии с коефициенти в сноп. Теорема на Де Рам.

Литература

1. Rotman J. J., Notes on Homological Algebra, Van Nostrand Reinhold Mathematical Studies 26, 1970.
2. Rotman J. J., An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 119, 1988.
3. Warner F. W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983.
4. Weibel, Ch., An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38, 1994.
5. Wells R. O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Prentice-Hall Inc., 1973.