Увод в теорията на числата

Курсът е един увод в теорията на числата, който започва с построяването на системата на естествените числа чрез аксиомите на Пеано и завършва със съвременни приложения на теорията на числата в криптографията и предаването на информация. След аксиоматичното построяване на естествените числа и разширяването им до пръстена на целите числа се формулират и доказват основните аритметични свойства на целите числа. Специално внимание се обръща на разпределението на простите числа, като с елементарни методи се получават някои оценки, след което се формулира известната теорема за асимптотичното разпределение на простите числа. Въвеждането на сравнения формализира задачите за делимост и дава възможност да се използуват алгебрични методи в теорията на числата. Установяват се основните свойства на сравненията и се намират всички естествени числа n, за които обратимите остатъци по модул n образуват циклична група. Езикът на сравненията се използува също така при изследването на квадратичните остатъци по модул дадено просто число и доказателството на квадратичния закон за реципрочност. В следващата част на курса се разглеждат някои от приложенията на теорията на числата в криптографията: формулират се основните криптографски понятия, дават се примери на симетрични и асиметрични криптосистеми (блокови шифри, поточни шифри, RSA) и се обсъждат някои методи за управление на криптографски ключове (протокол на Diffie-Hellman) и създаване на електронен подпис. Отделен раздел е посветен на дискретното преобразувание на Фурие на комплексни функции, дефинирани върху крайна циклична група - един аналог на класическото преобразувание на Фурие на комплексни функции, дефинирани върху единичната окръжност. В края на курса се разглеждат някои диофантови уравнения от втора степен (уравнение на Пел).