Съобщение Резултати от домашните по "Линейна алгебра" за студентите от специалност Информатика 1-ви курс, 1-ва група
29.01.2016
Съобщение Резултати от контролните и писмения изпит по "Линейна алгебра" за студентите от специалности Математика и Приложна математика
12.02.2016
Съобщение Резултати от контролните и писмения изпит по "Алгебра 1" за спец. "Компютърни науки", II курс, II поток.
25.01.2016
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Висша алгебра" за спец. "Информатика", I курс.
05.07.2015
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс, I поток.
01.07.2015
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс, II поток.
1.07.2015
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Линейна алгебра" за спец. "Информатика", I курс.
15.02.2015
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Алгебра-1" за студентите от специалност Компютърни науки, поток 1 и резултати по "Алгебра" на спец. Информационни системи на студенти от минали години.
5.02.2015
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Линейна алгебра" за студентите от специалности Математика, Приложна математика и Статистика
3.02.2015
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Алгебра 1" за спец. "Компютърни науки", II курс, II поток.
27.01.2015
Съобщение Резултати от писмен изпит по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс.
07.07.2014
Съобщение Резултати от писмен иэпит по "Висша Алгебра" за спец. "Информатика", I курс.
05.07.2014
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни Науки", II курс, II поток.
1.07.2014
Съобщение Занятията по "Алгебрична теория на числата" ще се провеждат в понеделник от 9 до 13 часа в ауд. 03 на ФМИ. Първата сбирка е на 10.03.2014.
Съобщение Резултати от писмен иэпит по "Алгебра 1" за спец. "Компютърни науки", I курс, I поток.
03.02.2014
Съобщение Резултати по "Алгебра 1" за спец. "Компютърни науки", I курс, I поток.
26.01.2014
Съобщение Резултати от Контролни работи по "Алгебра 1" за спец. "Компютърни Науки", I курс, II поток.
24.01.2014
Съобщение Контролна работа по "Висша Алгебра 2 " за спец. "Математика", I курс.
8.11.2013
Съобщение Писмен изпит по "Висша Алгебра" за спец. "Математика и Информатика", I курс.
5.07.2013
Съобщение Писмен изпит по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс, I поток.
5.07.2013
Съобщение Писмен изпит по "Висша Алгебра 1" за спец. "Математика", I курс.
5.07.2013
Съобщение Писмен изпит по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс, II поток.
5.07.2013
Съобщение Домашна работа №1 по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс, II поток.
25.03.2013
Съобщение Писмен изпит по "Алгебра 1" за спец. "Компютърни науки", I курс, I поток.
12.02.2013
Съобщение Писмен изпит по "Алгебра 1" за спец. "Компютърни науки", I курс, II поток.
12.02.2013
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Алгебра" за спец. "Информационни системи", I курс.
5.02.2012
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Линейна алгебра" за спец. "Математика", I курс.
4.02.2013
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Висша алгебра" за спец. "Информатика", I курс.
02.07.2012
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс, II поток.
27.06.2012
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс, I поток.
22.06.2012
Съобщение Резултати от писмения изпит по "Висша алгебра" за спец. "Математика и Информатика", I курс.
11.06.2012
Съобщение Резултати от контролните работи по "Алгебра 2" за спец. "Компютърни науки", II курс, II поток.
2.06.2012
Съобщение Резултати от контролната работа по "Висша алгебра" за спец. "Математика и Информатика", I курс.
27.03.2012

Висша алгебра

вид: задължителен Курс 1 - летен семестър
хорариум: М :   2 лек. + 2 сем.;    МИ :   4 лек. + 4 сем.;
И :   4 лек. + 3 сем.;     ПМ :   3 лек. + 3 сем.;
специалност: "Математика",  "Математика и Информатика",
"Информатика",  "Приложна Математика"
преподавател: Курсът не се чете през този семестър.

Анотация

Уводният курс по висша алгебра запознава студентите с езика и методите на съвременната абстрактна алгебра. Основните алгебрични структури, които се изучават в курса, са група, пръстен и поле.

Като правило, курсът започва с аксиоматично изложение на теорията на групите. Въвеждат се основните понятия (подгрупи, хомомоморфизми, изоморфизми) и се доказва теоремата на Кейли, според която всяка крайна група е изоморфна на подгрупа на симетричната група. Дава се дефиниция на циклична група и се доказва, че всяка подгрупа на циклична група е също циклична група. Разглеждането на съседните класове на една подгрупа води до теоремата на Лагранж, от която следва, че редът на всяка подгрупа на крайна група е делител на реда на групата. Една подгрупа е нормална, когато нейните леви и десни съседни класове съвпадат. Множеството от съседните класове на всяка нормална подгрупа притежава естествена групова структура и образува така наречената факторгрупа. Важността на нормалните подгрупи се изяснява от фундаменталната теорема за хомоморфизмите, според която образът на една група при хомоморфизъм и факторгрупата спрямо ядрото на хомоморфизма са изоморфни.

Добре познатите множества на целите числа и полиномите са примери на пръстени. Множествата на рационалните, реалните и комплексните числа са примери на пръстени с комутативно умножение, в които всеки ненулев елемент има мултипликативен обратен - такива пръстени се наричат полета. Дават се общите дефиниции за пръстен и поле и се разглеждат конкретни примери. Дефинира се характеристика на поле и се описват простите полета. Доказва се теоремата за хомоморфизмите на пръстени, в която ролята на нормалните подгрупи се играе от така наречените идеали, а ролята на факторгрупите се играе от факторпръстените.

Голям раздел на курса е посветен на изучаването на пръстените на полиноми с коефициенти в поле, като в началото се установява, че аритметичните свойства на пръстена на полиномите една променлива и пръстена на целите числа са едни и същи. Формулите на Виет, които изразяват коефициентите на един полином чрез елементарните симетрични полиноми на неговите корени, мотивират разглеждането на симетрични полиноми на много променливи. Два важни примера на такива полиноми са дискриминантата на полином една променлива и резултантата на два полинома на една променлива. Дискриминантата дава възможност да се установи дали даден полином има кратен корен, а с помощта на резултантата се установява дали два полинома имат общ корен. Уводният курс по алгебра ще изглежда непълен без доказателство на алгебричната затвореност на полето на комплексните числа - от многото известни доказателства в този курс се отдава предпочитание на едно от първите доказателства на Гаус. В края на този раздел се изучават полиноми с цели и рационални коефициенти и се излагат няколко критерия за неразложимост на полиноми.

Курсът завършва с описание на крайните полета. Доказва се, че броят на елементите на всяко крайно поле е степен на просто число и се дава явна конструкция на всички крайни полета.

Забележка: Съдържанието на курса и последователността на изложение на материала могат се променят в зависимост от специалността на студентите. Например студентите от специалност "Математика" се запознават с разделите за полиноми и крайни полета по време на курса "Висша алгебра II".

Примерен конспект

  1. Групи. Теорема на Кейли.
  2. Циклични групи.
  3. Съседни класове. Теорема на Лагранж. Следствия.
  4. Нормални подгрупи. Факторгрупи. Теорема за хомоморфизмите.
  5. Пръстени и полета. Теореми на Ойлер-Ферма и Уилсън.
  6. Характеристика на поле. Прости полета.
  7. Идеали. Факторпръстени. Теорема за хомоморфизмите.
  8. Полиноми на една променлива. Алгоритъм за деление с остатък.
  9. Аритметика в пръстена на полиномите над поле.
  10. Корени на полиномите. Формули на Виет. Кратни корени.
  11. Полиноми на няколко променливи. Симетрични полиноми.
  12. Дискриминанта и резултанта.
  13. Полиноми с комплексни и реални коефициенти. Алгебрична затвореност на полето на комплексните числа.
  14. Полиноми с рационални коефициенти. Критерии за неразложимост.
  15. Крайни полета.

Литература

  1. П. Сидеров, Записки по алгебра (групи, пръстени, полиноми), Веди, София 2002.
  2. П. Сидеров, К. Чакърян, Задачи по алгебра (групи, пръстени, полиноми), Веди, София 2002.
  3. Г. Генов, Ст. Миховски, Т. Молов, Алгебра с теория на числата, София 1991.
  4. А. Кострикин, Увод в алгебрата, София 1981.
  5. Б. Л. ван дер Варден, Алгебра, Наука, Москва 1979.
ФМИ  |  Home  |  Top