Висша алгебра II

Втората част на курса по висша алгебра е предназначена за студентите от специалност "Математика" и разширява и задълбочава техните знания за пръстени, полета и групи.

Курсът започва с раздел посветен на пръстените на полиноми. Доказва се основната теорема за симетрични полиноми: всеки симетричен полином с коефициенти в даден пръстен се представя по единствен начин като полином (с коефициенти в същия пръстен) на елементарните симетрични полиноми. От тази теорема следва, че всяка рационална симетрична функция от корените на един полином се изразява чрез неговите коефициенти и следователно принадлежи на полето на коефициентите. Примери на такива функции са дискриминантата и резултантата - с помощта на дискриминантата се установява кога един полином има кратен корен, а с помощта на резултантата се установява кога два полинома имат общ корен. Разглежда се въпросът за разложимост на полиномите с рационални, реални и комплексни коефициенти, като се дава доказателство на основната теорема на алгебрата на комплексните числа и се формулира критерия на Айзенщайн за неразложимост на полиноми с цели коефициенти. Разглеждат се също така циклотомичните полиноми, чиито корени са примитивните корени на единицата от фиксирана степен, и се доказва тяхната неразложимост.

Теоремите на Силов за p-подгрупите на една крайна група дават съществена информация за структурата на крайните групи. Понятието за действие на група върху множество, което се използува в тяхното доказателство, е от самостоятелен интерес и има многобройни приложения в съвременната математика. В този раздел на курса се дефинират стабилизатор и орбита на елемент от множеството и се установява взаимно еднозначно съответствие между елементите на орбитата и съседните класове на стабилизатора. Самите теоремите на Силов се доказват като се разглежда действието на групата върху себе си посредством спрягане.

Следващият раздел на курс е посветен на теорията на числовите полетата. Дефинират се прости разширения (които се получават чрез присъединяването на един елемент към основното поле) и крайни разширения (които са крайномерни векторни пространства над основното поле) и се доказва, че тези два класа от разширения съвпадат.

В края на курса се разглеждат крайни тела и крайни полета и се установява, че всяко крайно тяло е поле. За доказването на тази теорема на Ведербърн се привлича изложеното по-рано понятие за действие на група върху множество - в случая се използува действието на мултипликативната група на тялото върху себе посредством спрягане. Доказва се също така, че броят на елементите на всяко крайно поле е степен на просто число и се установява, че крайните полета са полетата на разлагане на полиномите x^q - x, където q = pⁿ и p е просто число.