НЕСТАНДАРТНИ ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА

    Ще приложим теоремата за компактност за предикатното смятане с равенство към въпроса за съществуване на един интересен вид разширения на системата на естествените числа.

    Ще предполагаме, че за някоя сигнатура Σ, съдържаща двуместния предикатен символ eq, са дадени нормална структура S=(Σ,C,I) и редица от затворени Σ-термове τ0, τ1, τ2, τ3, , като C е множеството на естествените числа 0, 1, 2, 3, и за всяко c от C стойността на терма τc в S е равна на c (от това условие е ясно, че термовете τc, отговарящи на различни стойности на c, трябва да бъдат различни помежду си).1

    Да разширим сигнатурата Σ, като добавим към нея една нова константа β, и да означим със Σ^ полученото по този начин разширение на Σ, а с Γ множеството, състоящо се от всички затворени формули в сигнатура Σ, които са верни в S, и от формулите ¬τ0), ¬τ1), ¬τ2), ¬τ3), (т.е. формулите ¬eq(β,τ0), ¬eq(β,τ1), ¬eq(β,τ2), ¬eq(β,τ3), ). Лесно се вижда, че всяко крайно подмножество на Γ има модел със сигнатура Σ^ в предикатното смятане с равенство. И наистина, ако Δ е крайно подмножество на Γ, то ще съществува такова c от C, че съответната формула ¬τc) да не принадлежи на Δ, и при това положение в качеството на нормална структура, която е модел със сигнатура Σ^ за множеството Δ, можем да посочим обогатяването на S, което е със сигнатура Σ^ и в което константата β се интерпретира като c. Теоремата за компактност за предикатното смятане с равенство позволява да заключим, че и цялото множество Γ има модел със сигнатура Σ^ в предикатното смятане с равенство. Да разгледаме сега някоя нормална структура S^, която е със със сигнатура Σ^ и е модел за Γ. В известен смисъл, който сега ще разясним, структурата S^ може да се разглежда като една нестандартна система на естествените числа.

    Нека S^=(Σ^,C^,I^). За всяко естествено число c да означим с c^ стойността на терма τc в структурата S^. Така дефинираните елементи c^ образуват едно същинско подмножество на носителя C^ на S^. Като пример за елемент на C^, непринадлежащ на това подмножество, можем да посочим елемента βS^    този елемент е различен от c^ за всяко c от C благодарение на това, че формулата ¬τc) от Γ е вярна в нормалната структура S^. Ще покажем, че елементите c^, отговарящи на различни естествени числа c, са различни помежду си. И наистина нека c и d са две различни естествени числа. Тогава затворената формула ¬cd) принадлежи на Γ и следователно е вярна в S^. Тъй като структурата S^ е нормална, това показва, че стойностите c^ и d^ в нея на термовете τc и τd са различни помежду си. И така, налице е взаимно еднозначно съответствие между естествените числа и съпоставените им по този начин елементи на множеството C^. При това с елементите c^ в определен смисъл може да се работи по същия начин както с естествените числа c, на които са съответни. По-точно, ако ω е n-местен функционален символ на Σ, където n е положително цяло число, то всеки път, когато дадени естествени числа c1, , cn, d са свързани с равенството ωS(c1,,cn)=d, ще имаме и равенството ωS^(c1^,,cn^)=d^, понеже затворената формула ω(τc1,,τcn)τd ще принадлежи на множеството Γ и поради това ще бъде вярна в S^. Аналогично се вижда, че ако ω е нулместен функционален символ на Σ и имаме равенството ωS=d, където d е дадено естествено число, то ще имаме и равенството ωS^=d^. Подобни неща важат и за интерпретациите в S и в S^ на предикатните символи на Σ: всеки път, когато π е n-местен предикатен символ на Σ, n е положително цяло число и c1, , cn са естествени числа, имаме равенството πS(c1,,cn)=πS^(c1^, ,cn^), а за всеки нулместен предикатен символ π е в сила равенството πSS^. За да докажем това, най-напред отбелязваме, че за всяка затворена формула φ в сигнатура Σ е изпълнено равенството φSS^. Действително, ако лявата страна на това равенство е 1, то φ принадлежи на Γ и следователно е вярна в S^, тъй че и дясната страна ще бъде 1, а ако лявата страна е 0, то затворената формула ¬φ принадлежи на Γ и значи е вярна в S^, поради което и дясната страна ще бъде 0. За да получим оттук формулираната връзка между интерпретациите в S и в S^ на предикатните символи, достатъчно е в качеството на φ да вземем формулата π(τc1,cn) в първия случай и формулата π във втория. Ако отъждествим естествените числа със съответните им елементи на C^, бихме могли да считаме, че структурата S^ представлява едно разширение на структурата S, като в носителя C^ на S^ освен естествените числа има и други елементи (можем да ги наречем нестандартни естествени числа), но въпреки това свойствата на S и на S^, които се изразяват посредством затворени формули в сигнатура Σ са едни и същи (например ако едно уравнение, на което двете страни се представят чрез термове в сигнатура Σ, няма решение в структурата S, то няма да има решение и в структурата S^).

    В заключение нека отбележим, че с незначителни изменения горните разглеждания могат да се направят и в по-общия случай, когато е дадена произволна нормална структура S с безкраен носител, на който всеки елемент е стойност на някой затворен терм.2


Бележки

    1 Когато S=(Σ,C,I) е структура с носител множеството на естествените числа, за съществуването на редица от затворени Σ-термове τ0, τ1, τ2, τ3, с посоченото свойство е достатъчно например между функционалните символи на Σ да има една константа и един едноместен функционален символ, които се интерпретират в S съответно като числото 0 и като функцията прибавяне на единица, или пък два нулместни, на които стойностите в S са съответно числата 0 и 1, заедно с един двуместен, който се интерпретира в S като операцията събиране (в първия случай споменатата редица от затворени термове ще отговаря на получаването на естествените числа от нулата чрез последователно прибавяне на единици, а във втория тя би могла например да съответства на представянето на последователните естествени числа във вида 0, 1, 1+1, (1+1)+1,

    2 При нашия подход към предикатното смятане това обобщение не е особено съществено, защото и в споменатия по-общ случай носителят на S би се оказал изброим. Възможен е обаче и такъв друг подход, при който да е допустимо да има неизброимо много различни затворени термове, и тогава вече обобщението ще обхваща многобройни случаи, съществено различни от разгледания.

 

Последно изменение във файла:  16 януари 2006 г.